LOS NÚMEROS RACIONALES – Concepto y Propiedad - Enciclopedia de Tareas

LOS NÚMEROS RACIONALES – Concepto y Propiedad



Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero.

Propiedades de los números racionales

Los números racionales tienen las siguientes propiedades: 

  • Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
  • El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
  • La clausura algebraica de Q, es el conjunto de los números algebraicos.
  • El conjunto Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros Z.
  • El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre N y Q (tienen la misma cantidad de elementos).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.

Un número real que no es racional se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z.

Históricamente los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios.
Número racional en base decimal

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. De esta manera, el valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.

Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2n.5p (n y p enteros), así como en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.